中国海洋大学本科生课程大纲

课程属性：专业知识

课程性质：选修

一、课程介绍

1.课程描述：

拓扑学的基本思想是通过空间结构，而不是仅仅通过度量或位置关系，来研究空间性质。 同时，在淡化对象背景信息的前提下，来探索空间性质在连续变换下的不变性也是其基本思想的组成部分。本课程的授课内容包括拓扑学的一些基本概念（如，拓扑，拓扑空间，邻域系，闭包算子和内部算子等）、构造论域上拓扑的基本方法（如，基方法、子空间方法和乘积方法等）和若干连续变换下的不变性（如，连通性，可数性，分离性和紧致性等）。本课程对修课学生有以下两点积极作用：

（1）升华学生所学过课程（如，数学分析、解析几何和高等代数等）中的有关概念、理论和方法；

（2）获得无位置关系和无度量概念的研究环境下，通过空间结构来分析和解决问题的能力。

2.设计思路：

低年级数学类专业的学生通过数学分析、解析几何和高等代数等课程的学习，学生逐步认识到这些基础类数学课程中有下列现象：

（1）受数学基础的限制，在低年级开设的数学分析中，反映数学本身规律性的结论和定理由于使用了过多研究对象的背景信息而使得学生认识不到这些结论和定理的本质。如，著名介值定理和最值定理实际上分别使用了拓扑空间的连通性和紧致性，与对象是否是实数，函数定义域是否是闭区间无关（事实上，有界闭集是本质）。

（2）低年级的同学在修课、探索和解决实际问题时，往往是在有度量（如，欧氏度量）的环境下进行思考，如此大大限制了学生对数学方法的使用和数学概念本质的理解。如，函数极限或连续性的定义一般使用了西方人所谓的魔鬼“”方式，事实上，这完全是欧式度量本身特殊性造成的，而用拓扑的语言则可以简明的描述。又如，度量环境下，研究对象的邻域一般理解为“圆的”，而在拓扑的环境下，人们可以根据背景问题的需要，自主地采用“圆的”或“方的”。这使得学生的探索活动从限制状态中得到解放。

（3）低年级的数学类课中，许多规律性与研究对象的位置关系密切相关。如，在解析几何中，许多规律性与长度、角度和图形的形状有关，这导致学生常常将自身的思维限制在位置关系的泥潭中。但拓扑学会告诉我们，我们不必如此受困。如，拓扑学中著名的欧拉定理发现任意凸多面体中，顶点数（V)+面数（F)-边数（E)=2恒成立。即使边和面发生弯曲，公式仍然成立，与“位置和形状”无关。

受这些数学现象和拓扑学对理解现代数学之必要性的驱动，本课程的开设意在通过拓扑学使学生理解在淡化对象背景信息和位置关系的前提下，论域上存在除度量以外的拓扑结构。它不但可代替度量描述概念，而且可以探索在连续映射（包括连续函数）作用下空间性质的不变性。为此，课程内容设计了四个模块：集合论基础、拓扑空间及其附属概念、构造拓扑的若干方法和拓扑不变性。这四个方面选择的标准是它们准确反映了拓扑学在淡化对象背景信息、位置关系和度量的环境下，通过空间结构来研究空间不变性的基本思想。

上述课程内容的四个模块的选择标准及其内容编排顺序具体如下：

模块(I): 为了在淡化对象背景信息的前提下,展开后继内容,课程需要先把具有不同背景信息的研究对象之全体简化为所谓的集合。同时,为了建立不同对象之间的联系,课程也需要集合之间引入映射的概念。因此，集合论基础这一模块以集合和映射为核心展开，包括集合的运算（并、交、补、乘积和幂等）及其性质、映射的运算和映射的扩张、有标集族及其运算等内容、也包括可数集和不可数集的基本概念和性质。

模块(II): 拓扑空间及其附属概念是模块(I)的后继内容，也是拓扑学核心内容展开的基础。本部分以度量空间为导引，把拓扑、拓扑空间和例子作为核心内容展开教学活动。教学内容及其次序是先讲好作为导引的度量空间，然后讲授拓扑空间及其例子这一基础内容，连续映射是接续的讲授内容，最后讲授基拓扑空间的附属概念。

模块(III): 构造拓扑的若干方法是拓扑学中为获得论域上拓扑结构那些最广泛使用的方法，这些方法的鲜明特征是别具创意的构造性特点。课程将以如何获取论域上具体化拓扑为主线展开，包括构造拓扑的基方法、子基方法、子拓扑方法和积拓扑方法，每部分均优选实际案例作为支撑。

模块(IV):拓扑不变性是拓扑学理论的核心内容。内容展开以介绍各种典型的拓扑不变性为主，这些不变性有启发意义且与学生已掌握的著名定理（如，介值定理，最值定理， 致密性定理和一致连续性定理等）密切联系。包括，连通性、可数性、分离性和紧致性等。讲授时，这些拓扑不变性的应用以及它们与学生已掌握的著名定理的联系方面也是本部分讲授内容的组成部分。

3.课程与其他课程的关系：

先修课程：数学分析、空间解析几何和高等代数等；并行课程：测度论基础，多元统计分析等；后置课程：数学史等。

二、课程目标

鉴于低年级数学类专业的学生通过数学分析、解析几何和高等代数等课程的学习，已具备基本的数学素养。但受各种基础类数学课程研究对象背景信息的限制，学生在获取数学本身的规律性时，往往陷入过于使用数学技巧的境地。本课程的目标是能使低年级数学类专业的学生以较高的观点，总结和理解所学过数学知识，认清先行课程内容的本质；使学生认识到当我们忽略了对象的背景信息，淡化了对象的位置关系，思维的触角不仅仅限制在度量环境中时，数学中许多规律性可以借助拓扑这一空间结构来简明的获得，如此可大大提升学生数学素养；课程教学为学生用非度量型空间结构来描述和解决实际问题的创新能力培养提供了难得的数学实践环节。

到课程结束时，学生应能：

(1）理解拓扑和拓扑空间的引入意义，认识到度量空间（包括欧式空间）是拓扑空间重要的例子；会用拓扑结构代替度量在无度量的论域上讨论数学问题，如，映射的整体连续性、映射的局部连续性和序列的收敛等。

（2）掌握在论域上构造拓扑结构的若干方法，包括基方法、子基方法、子拓扑方法和积拓扑方法。理解子拓扑方法和积拓扑方法是从已知拓扑获得新拓扑的典型方法。

（3）掌握拓扑学中若干拓扑不变性，如，连通性、第一和第二可数性、可分性，低分离性和紧致性。理解若干拓扑不变性在实数空间和欧式空间的应用方法。

（4）升华所学过课程（如，数学分析、解析几何和高等代数等）中的有关概念、理论和方法，并获得无位置关系和度量概念的研究环境下，通过空间结构来分析和解决问题的能力。

三、学习要求

要完成所有的课程任务，学生必须：

（1）按时上课,上课认真听讲，积极参与课堂讨论、随堂练习或测试。本课程将包含适当的随堂练习、讨论和小组作业等活动，课堂表现和出勤率是成绩考核的组成部分。

（2）按时完成常规练习作业。这些作业要求学生按书面形式提交，只有按时提交作业，才能掌握课程所要求的内容。延期提交作业需要提前得到任课教师的许可。

（3）完成教师布置的背景资料阅读任务、例子分析和理论探讨等作业，其中大部分内容要求以小组合作或单独形式完成。这些作业能加深对课程内容的理解、促进同学间的相互学习、并能引导有兴趣的学生对某些问题进行深入探讨。

四、参考教材与主要参考书

1、选用教材：

熊金城. 点集拓扑学讲义（第四版）. 高等教育出版社. 2011

2、主要参考书：

[1] James R. Munkres. Topology（Second edition）.  Prentice—Hall  Inc. 2000.  

[2] 熊金城. 点集拓扑学讲义（第四版）. 高等教育出版社. 2011  

[3] 方嘉琳. 点集拓扑学. 辽宁人民出版社. 1983

[4] John L. Kelly.  General Topology.  Springer—verlag. 1955

[5] 陆文钊，陈肇姜. 点集拓扑学. 南京大学出版社. 1995

五、进度安排

六、成绩评定

（一）考核方式为闭卷考试

（二）成绩综合评分体系：

附：作业和平时表现评分标准

1）作业的评分标准

2）课堂讨论及平时表现评分标准

七、学术诚信

学习成果不能造假，如考试作弊、盗取他人学习成果、不独立完成作业等，均属造假行为。本课程如有发现上述不良行为，将按学校有关规定取消本课程的学习成绩。

八、大纲审核

教学院长：                               院学术委员会签章：